Tugas Mandiri: matematika

TUGAS MANDIRI

Mata Kuliah: Matematika

NamaMahasiswa : Firman Subeki

NIM : 100110013

Kode Kelas :

Dosen :

UNIVERSITAS PUTERA BATAM

2012

Kata pengantar

Pujisukur kami ucapkan kepada Tuhan YME dimana kami dapat menyelesaikan tugas makalah Mandiri meskipun tidak sesempurna yang di harapkan.

Namun kami telah berusaha membuat yang terbaik

Semoga materi yang telah kami susun

Dapat memberikan pembelajaran kepada kita semua

Amin

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ………………..………………………………………………………………….1

DAFTAR ISI …….……………………………………………………………………………………….2

BAB I ……………………………………………………………………………………………………4

DEFINISI HIMPUNAN …………………………………………………………………………………4

PENYAJIAN HIMPUNAN ………………….…………………………………………………………..4

ENUMERASI …….………………………………………………………………………………………4

SIMBOL-SIMBOL BAKU ……………………………………………………………………………..5

NOTASI PEMBENTUKAN HIMPUNAN ………………………………………………..…………..5

KARDINALITAS …………………………………………………………………………..……………5

JENIS-JENIS HIMPUNAN ……………………………………………………………………………5

HIMPUNAN KOSONG …………………………………………………………………………………5

HIMPUNAN YANG SAMA …………………………………………………………………………….6

HIMPUNAN YANG EKUIVALEN ……………………………………………………..……………..6

HIMPUNAN YANG SALING LEPAS …………………………………………………………………6

BAB I ………………………………………………………………………………………………………7

JENIS-JENIS OPERASI HIMPUNAN ……………………………..……………………………….7

ALJABAR HIMPUNAN DAN HUKUM-HUKUMNYA ……………………………………………..9

PRINSIP DUALITAS ………………………………………………………………………………….10

PEMBENTUKAN PROPOSIS HIMPUNAN ……………………………………………………….12

BAB II ……………………………………………………………………………………………………12

SISTIM BILANGAN REAL ………………………………………………………………………….12

BILANGAN BULAT DAN RATIONAL ……………………………………………………………..13

SIFAT-SIFAT MEDAN ……………………………………………………………………………….13

DESIMAL DESIMAL BERULANG DAN TAK BERULANG ……………………………………13

KEPADATAN …………………………………………………………………………………………..13

PENAKSIRAN ………………………………………………………………………………………….13

BAB II …………………………………………………………………………………………………..13

SISTEM BILANGAN REAL ………………………………………………………………………….13

KETAKSAMAAN ………………………………………………………………………………………13

NILAI MUTLAK ……………………………………………………………………………………….17

AKAR KUADRAT DAN KUADRAT …………………………………………………………………20

SISTEM KORDINAT EMPAT ………………………………………………………………………20

PERSAMAAN LINGKARAN …………………………………………………………………………20

TITIK TENGAH ………………………………………………………………………………………..21

BAB II …………………………………………………………………………………………………..22

SISTEM BILANGAN REAL ………………………………………………………………………….22

GARIS LURUS …………………………………………………………………………………………22

BENTUK KEMIRINGAN …………………………………………………………………………….27

GARIS LURUS DAN TEGAK LURUS ……………………………………………………………27

KESIMETRISAN GRAFIK …………………………………………………………………………..27

PERSAMAAN KUADRAT ……………………………………………………………………………27

BAB III ………………………………………………………………………………………………….28

MATRIK,RELASI,DAN PUNGSI ……………………………………………………………………28

DEFINISI MATRIK ……………………………………………………………………………………28

BENTUK UMUM MATRIK …………………………………………………………………………..28

BUJUR SANGKAR ……………………………………………………………………………………29

DIAGONAL …………………………………………………………………………………………….30

NOL ……………………………………………………………………………………………………..30

SEGI TIGA ……………………………………………………………………………………………..30

IDENTITAS …………………………………………………………………………………………….30

OPERASI MATRIK ……………………………………………………………………………………31

BAB III ………………………………………………………………………………………………….33

MATRIK,RELASI,DAN FUNGSI ……………………………………………………………………33

DEFINISI RELASI …………………………………………………………………………………….33

REPRESENTASI RELASI ……………………………………………………………………………34

MENGKOMBINASIKAN RELASI …………………………………………………………………..34

KOMPOSISI RELASI …………………………………………………………………………………35

SIFAT-SIFAT RELASI ………………………………………………………………………………..35

BAB III …………………………………………………………………………………………………39

MATRIK,RELASI,DAN FUNGSI ……………………………………………………………………39

FUNGSI DETERMINAN ……………………………………………………………………………..39

DEFINISI PERMUTASI ………………………………………………………………………………40

DEFINISI DETERMINAN …………………………………………………………………………….40

MENGHITUNG DETERMINAN YANG REDUKSI BARIS ……………………………………..40

SIFAT-SIFAT FUNGSI DETERMINAN ……………………………………………………………41

BAB I

HIMPUNAN ( SET )

1. Definisi Himpunan

Dalam kegiatan sehari-hari dikampus kita sebenarnya telah mengenal bahkan terlibat dalam apa yang dimaksud dengan konsep himpunan. Sebagai contoh sederhana tentang konsep tentang himpunan ini misalnya Hinpunan Mahasiswa Teknik Informatika atau disingkat HIMTI . Isi dari himpunan ini adalah mahasiswa teknik informatika yang bentuk serta rupa mahasiswanya satu dengan yang lainnya tentunya tidak ada yang sama. Dari contoh sederhana ini secara umum kita dapat mendefinisikan tentang himpunan seperti berikut ;

Definisi : Himpunan adalah kumpulan dari sesuatu atau elemen dimama elemen satu

dengan elemen lainnya saling berbeda .

Pada umumnya nama himpunan biasa ditulis dengan huruf besar , missal A, B, C sedangkan isi dalam himpunan tersebut disebut elemen atau anggota yang dilambangkan dengan tanda “

“ dan “

“ adalah bukan anggota .

2 Penulisan Himpunan

Penulisan himpunan yang biasa dipergunakan ada dua bentuk yaitu ;

2.1 Bentuk Enumerasi yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan semua

Anggota himpunan diantara dua kurung kurawal

Contoh :

1. A = { a, b, c, d, e } menyatakan himpunan 5 huruf pertama .

2. B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } menyatakan himpunan 6 bilangan ganjil.

3. C = { 11, 13, 17, 19 } menyatakan himpunan 4 bilangan prima .

2.2 Simbul-simbul Baku Himpunan

Dalam mempelajari himpunan ada beberapa hinpunan yang memakai simbul baku yang sering dipakai oleh beberapa buku . Simbul-simbul himpunan baku ini diantaranya :

P = Himpunan bilangan positip = { 1, 2, 3, 4 . . . }

N =Himpunan bilangan asli = { 0, 1, 2, 3 . . .}

Z = Himpunan bilangan bulat = { . . . -2, -1, 0, 1, 2, . . .}

R = Himpunan bilangan riil

2.3 Notasi Pembentukan Himpunan yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan

sifat anggotanya pada suatu notasi diantara dua kurung kurawal .

Contoh : 1. A = { x | x = lima hurup pertamam abjad }.

2. B = { x | x = enam bilangan ganjil pertama }.

3. C = { x | 10 < x < 20 , € bilangan prima }.

3. Kardinalitas

Misal S adalah himpunan yang anggota-anggotanya berhingga banyaknya, maka jumlah banyaknya angota didalam himpunan S disebut kardinalitas dari himpunan S

Notasi : n (S) atau |S|

4. Jenis-jenis Himpunan

4.1 Himpunan Kosong ( Empty Set )

Definisi : Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota

Satupun .

Notasi : { } atau Ø

Contoh:

S = { x | x adalah manusia yang bernapas dengan insang }

S adalah himpunan kosong karena S tidak memiliki elemen

(tidak ada manusia yang bernapas dengan insang ).

himpunan A.

4.2 Himpunan Yang Sama

Definisi : himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B demikian pula sebaliknya .

Notasi : A = B

Contoh ;

P = { a, b, c, d } dan Q = { d, c, b, a} , maka P = Q

4.3 Himpunan Yang Ekivalen

Definisi : himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika cardinal keduan himpunan tersebut sama .

Notasi : A ~ B

Contoh :

X = { p, q, r, s } dan Y = { 2, 3, 5, 7 } , maka X ~ Y

4.4 Himpunan Saling Lepas

Definisi : Himpunan A dikatakan saling lepas dengan himpunan B jika keduanya tidak memiliki anggota yang sama.

Notasi : A // B

Contoh ;

C = { 1, 3, 5, 7 } D = { a, b, c, d } maka C // D

4.5 Himpunan Kuasa ( Power Set )

Himpunan kuasa adalah himpunan seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan .

Contoh :

S = { 0, 1 } mala himpunan kuasanya P(S) = { Ø, {0}, {1},{0, 1} }

BAB I

5. JENIS-JENIS OPERASI HIMPUNAN

5.1 Union ( Gabungan )

Definisi : Union himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua anggota yang termasuk dalam himpunan A atau himpunan B atau keduanya .

Notasi : A B dibaca A union B

Contoh

A = { a, b, c, d } dan B = { e, f, g }

Maka A

B = { a, b, c, d, e, f, g }

Union A dan B dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut

B = { x | x

A atau x

B }

Berlaku hukum A

B = B

A dan B kedua-duanya juga selalu berupa sub himpunan dari A

B , yaitu ; A

B) dan B

Contoh :

1. Terdapat himpunan :

U = { 1, 2, 3, ..., 9}

A = {1, 2, 3, 4} ; B = { 2, 4, 6, 8} ; C = {3, 4,, 5, 6}

Tentukan :

a. A

B c. B

b. A

C d. B

Jawab :

a. Untuk menentukan A dan B, kita gabung semua elemen-elemen dari A bersama-sama dengan elemen-elemen B. Dengan demikian ,

B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

b. Begitu pula dengan A

C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

c. B

C = { 2, 4, 6, 8, 3, 5}

d. B

B = B = { 2, 4, 6, 8}

5.2 Irisan ( intersection )

Definisi : Irisan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari anggota-anggotany dimiliki bersama oleh A dan B, yaitu anggota-anggota yang termasuk A dan juga termasuk B.

Notasi : A B yang dibaca “ A irisan B “

Contoh :

S = { a, b, c, d } dan T = { b, d, f ,g }

Maka S

T = { b, d }

Dapat dinyatakan dengan A

B = { x | x

A dan x

Setiap himpunan A dan himpunan B mengandung A

B sebagai subhimpunan , yaitu

( A

B )

A dan ( A

Jika himpunan A dan himpunan B tidak mempunyai elemen-elemen yang dimiliki bersama, berarti A dan B terspisah, maka irisan dari keduanya adalah himpunan kosong.

Contoh :

1. Terdapat himpunan sebagai berikut :

A = { 0, 1, 3, 4, 6} ; B = {0, 3, 6} ; C = {5, 6}

Tentukan :

a. A

B b. A

C c. B

JAWAB

a. A

B = { 0, 3, 6}

b. A

C = { 6 }

c. B

C = { 6 }

5.3 Selisih ( Differenece )

Definisi : Selisih dari himpunan A dan himpunanB adalah himpunan dari elemen-elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B.

Notasi : A – B dibaca “ selisih A dan B” atau “ A kuran B “

Dapat dinyatakan dengan A – B = { x | x

A dan x

B }

Himpunan A mengandung A – B sebagai subhimpunan, berarti

(A – B )

Contoh :

1. Terdapat himpunan sebagai berikut

A = { 0, 1, 3, 4, 6 } ; B = { 0, 3, 6 } ; C= { 5, 6 }

Tentukan :

a. A – B b. A – C c. B – C

JAWAB

a. A – B = { 1, 4 }

b. A – C = { 0, 1, 3, 4, }

c. B – C = { 0, 3 }

5.4 Komplemen ( Complement )

Definisi : Komplemen dari himpunan A adalah himpunan dari elemen-elemen yang tidak termasuk A, yaitu selisih dari himpunan semesta U dan A.

Notasi : A’ = { x | x

U dan x

A} atau A’ = { x| x

A }

5.5 Beda Setangkup ( Symmetric Difference )

Definisi : Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B tapi tidak dikeduanya.

Notasi : A

B dibaca “ Beda setangkup A dan B dapat dinyatakan pula dengan:

B = ( A

B ) – ( A

B )

5.6 Perkalian Kartesian ( Cartesian Product )

Definisi : Perkalian kartesian dari himpunan A dengan himpunan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya semua pasangan berurutan ( ordered pair ) yang mungkin dibentuk dengan unsur pertama dari himpunan A dan unsur kedua dari himpunan B.

Notasi : A x B = { ( a,b) | a

A dan b

B .

Contoh :

A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b } , maka

A X B = { ( 1, a), (1,b),(2,a),(2,b),(3,a), (3,b) }

6. Aljabar Himpunan

Himpunan menurut operasi gabungan (union ), irisan ( intersection) dan komplemen (complement)akan memenuhi berbagai hukum yang merupakan identitas .

Hukum-hukum aljabar Himpunan

1) Himpunan Idempoten

a. A

A = A b. A

A = A

2) Hukum Asosoatif

a. (A

C = A

C) b. (A

C = A

( B

3) Hukum Komutatif

a. A

B = B

A b. A

B = B

4) Hukum Distributif

a. A

( B

C) = (A

b. A

( B

C) = (A

5) Hukum identitas

a. - A

Ø = A

- A

U = U

b. - A

U = A

- A

Ø = Ø

6) Hukum komplemen

a. - A

A’ = U

- (A’)’ = A

b. - A

A’ = Ø

- U’ = Ø, Ø’ = U

7) Hukum De Morgan

a. (A

B)’ = A’

B’

b. (A

B)’ = A’

B’

7. Prinsip Dualitas Pembuktian Proposisi Himpunan

Jika oksima-oksima tertentu menyatakan dualnya sendiri, maka dial dari sekarang teorema yang merupakan konsekuensi oksima-oksima tersebut adalah juga konsekuensi oksima-oksima tersebut, karena diberikan sebarang teorema dan buktinya, maka dual dari teorema tersebut dapat dibuktikan dengan cara yang sama dengan menggunakan dual dari setiap langakh dalam bukti aslinya. Jadi prinsip dualitas berlaku kepada aljabar himpunan.

Contoh: Buktikan ( A

B’) = A

Jawab : ( A

B’) = A

B’)

( A

B’) = A

( A

B’) = A (terbukti)

8. Pembuktian Proposisi Himpunan

· Diagram Venn yaitu menuliskan himpunan dalam bentuk diagram dimana

impunan semestanya digambarkan dengan segi empat sedangkan himpunan-himpunan yang ada di lingkungannya digambarkan dengan lingkaran .

Contoh :

· Tabel keanggotaan

· Aljabar himpunan

BAB 2

Sistem Bilangan Real

Bilangan real merupakan gabungan dari bilangan rasional dengan bilangan irasional.

Bilangan rasional sebagai bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

,dengan a,b bilangan bulat dan b ≠ 0. Dengan demikian bilangan rasional dapat berupa bilangan bulat, bilangan yang dapat dinyatakan dengan pecahan atau bentuk desimal, dan campurannya. Pecahan didefinisikan sebagai bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

,dengan a,b bilangan bulat dan b ≠ 0 , a ≠ kb untuk setiap bilangan bulat k, Untuk selanjutnya jika

pecahan maka a dinamakan pembilang dan b dinamakan penyebut . Berdasarkan definisi tersebut maka ada dua macam pecahan yaitu : pecahan murni bila │a│<│b│ dan pecahan tidak murni (campuran) bila │a│>│b│. Dalam bentuk desimal,bilangan rasioanl berupa pecahan desimal berulang.Sedangkan bilangan irasional adalah bilanga yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk

, dengan a,b bilangan bulat dan b ≠ 0 , misalnya:

1. Bilangan bulat dan rasianoal

Dalam Matematika operasi diartikan sebagai “pengerjaan”.Operasi yang dimaksud adalah operasi hitung.pada dasarnya operasi hitung mencakup empat pengerjaan dasar yaitu a; penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Dari ke empat operasi ini yang merupakan operasi pokok ialah penjumlahan.Pengurangan merupakan lawan penjumlahan (penambahan). Perkalian merupakan penambahan berulang. Sedangkan pembagian merupakan pengurangan berulang,Operasi hitung tersebut merupakan operasi biner yaitu operasi untuk sepasang bilangan (unsur),sehingga apabila ada tiga unsur atau lebih tidak dapat melakukan pengerjaan itu seklaigus tetapi hanya dapat diambil dua unsur sekaligus. Sedangkan urutan pengerjaannya apabila tidak memakai tanda kurung maka urutan yang berlaku secara internasioanl yatiu pertama perpangkatan, kedua perkalian dan pembagian ( sama kuat, yang ditulis disebelah kiri didahulukna).

2. Sifat – sifat medan

3. Desimal – desimal berulang dan tak berulang

4. Kepadatan

5. Penaksiran

BAB 2

Sistem Bilangan Real

1. Ketaksamaan

KETAKSAMAAN

Satu ketaksamaan tunggal boleh diselesaikan dengan menggunakan aturan ketaksamaan

seperti yang huraikan sebelum ini.

Contoh: Selesaikan ketaksamaan

(a) 4x - 5 < 8 (b) 3 - 2x

Penyelesaian:

(a) 4x - 5 < 8 (b) 3 - 2x

4x < 8 + 5 - 2x

4x < 13 x

- 2

x <

Penyelesaian secara geometri kadangkala lebih sesuai dan mudah digunakan bagi

ketaksamaan yang lebih mencabar seperti

x²

- 3x + 2 > 0

Sebagai langkah pertama, kita perlu mendapatkan penyelesaian bagi persamaan

x²- 3x + 2 = 0 iaitu x = 1 atau x = 2. Kemudian, bahagikan garis nombor nyata

kepada tiga bahagian : A, B dan C seperti dalam Rajah 1.2

Ambil sebarang nilai x dalam setiap bahagian dan perhatikan adakah dengan nilai tersebut

x²- 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) > 0.

Selang A : x = 0 , (0 – 1)(0 – 2) = 2 > 0

Selang B : x =

, (

- 1) (

-2 ) = -

< 0

Selang C : x = 3 , (3 – 1)(3 – 2) = 2 > 0

Jadi, penyelesaian bagi ketaksamaan ialah x < 1 atau x > 2.

Perhatian: Jika diberi x²- 3x + 2 ≥ 0 , maka penyelesaiannya menjadi

x ≤ 1 atau x ≥ 2.

Kaedah geometri boleh juga digunakan bagi menyelesaikan ketaksamaan dalam dua

pembolehubah berbentuk ax + by ≤ c dengan a, b dan c nombor nyata. Penyelesaian

bagi ketaksamaan seperti ini ialah semua titik di dalam salah satu daripada separuh-ruang

iaitu ruang yang terhasil daripada pembahagian ruang dua dimensi oleh garis lurus ax +

by = 0 ; separuh di sebelah atas garis dan separuh lagi di sebelah bawahnya..

Contoh : Grafkan ruang penyelesaian bagi ketaksamaan 2x + 3y ≤ 6

Penyelesaian :

Langkah 1: Cari titik pintasan garis lurus 2x + 3y = 6 pada paksi-x dan

paksi-y. Apabila

x = 0 , y = 2 , jadi (0, 2) titik pintasan paksi-y

y = 0 , x = 3 , jadi (3, 0) titik pintasan paksi-x

Langkah 2 : Lukis satu garis lurus dengan menyambungkan dua titik tersebut.

Garis lurus ini akan membahagikan ruang dua dimensi kepada

dua bahagian.

Langkah 3 : Untuk menentukan bahagian mana yang menjadi ruang

penyelesaian , kita hanya perlu menentukan dibahagian mana

titik asalan (0, 0) terletak. Ini dilakukan dengan melihat sama

ada asalan (0, 0) memenuhi ketaksamaan tersebut. Oleh kerana,

2(0) + 3(0) = 0 ≤ 6

maka bahagian yang mengandungi asalan adalah ruang

penyelesaiannya atau ‘separuh- ruang’ bagi ketaksamaan seperti

ditunjukkan dalam Rajah 1.3

Contoh: a) Grafkan ruang penyelesaian bagi ketaksamaan

3x - 2y < - 8

b) Cari penyelesaian algebra bagi ketaksamaan.

c) Tuliskan set penyelesaian khusus jika x = 2.

Penyelesaian :

a) Seperti contoh di atas, mula-mula kita lukiskan garis

3x - 2y = - 8

dengan mencari titik pintasan di kedua paksi iaitu;

paksi- x : titik (-8/3 , 0)

paksi- y : titik (0 , 4)

Seterusnya, tentukan sama ada titik asalan (0, 0) memenuhi ketaksamaan.

Jelas bahawa

3(0) - 2(0) = 0 < - 8

adalah tidak benar!. Ini bererti separuh-ruang berada di sebelah kiri garis

kerana ruang tersebut tidak mengandungi asalan seperti yang dapat dilihat

dalam Rajah 1.4.

b) Untuk penyelesaian secara algebra, kita hanya perlu asingkan y ke

satu sisi ketaksamaan seperti berikut:

3x - 2y < - 8

- 2y < - 3x - 8

- y > - 1.5x + 4

Dengan ini, penyelesaian umum ketaksamaan ialah

x sebarangan

y > 1.5x + 4 .

c) Jika x = 2 , maka y > 1.5(2) + 4

y > 3 + 4

y > 7

dan kita mendapat satu penyelesaian khusus iaitu (x = 2 , y > 7).

2. Nilai mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan adalah panjang/jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Jadi, nilai mutlak 5 adalah 5, nilai mutlak -7 adalah 7, nilai mutlak 0 adalah 0, dan seterusnya.

Definisi 1 Nilai mutlak

, ditulis dengan notasi

, didefinisikan sebagai:

Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai:

Sebagai contoh: , , Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak diterangkan sebagai berikut.

Sifat2 Jika maka:

(Pertidaksamaan segitiga)

Secara geometris, nilai mutlak

dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x. Sebagai contoh, jika

maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di sebelah kiri 3 (lihat Gambar dibawah ini).

· ·

Jadi, penyelesaian

adalah .

Dengan mengingat Sifat 2 (b), kiranya mudah dipahami sifat berikut:

Sifat 3 Jik

maka:

Sebagai contoh,

Demikian pula,

Sifat 4 Jika

, maka:

(a).

(b).

Contoh 1 Selesaikan

Penyelesaian: Menggunakan Sifat 4 (b), diperoleh:

Jadi, penyelesaian adalah

Contoh 2 Tentukan semua nilai x sehingga .

Penyelesaian: Berdasarkan Sifat 4 (a), maka:

Selanjutnya, karena:

maka, diperoleh: .

Contoh 3 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan .

Penyelesaian:

(i). Apabila, maka selalu berlaku

untuk setiap x. Sehingga diperoleh: .

(ii). Jika

, maka:

Dari (i) dan (ii), diperoleh

3. Akar kuadrat dan kuadrat

4. System kordinat empat

5. Persamaan lingkaran

Sejak di sekolah dasar kita sudah mengenal bentuk lingkaran. Dalam matematika lingkaran didefinisikan sebagai himpunan atau tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Titik tertentu itu selanjutnya disebut pusat lingkaran, dan jaraknya disebut ukuran jari-jari. Perlu di bedakan antara lingkaran dan daerah dalam lingkaran, seperti pada Gambar 4.1., yang berwarna biru adalah lingkaran dan daerah yang diarsir adalah daerah dalam lingkaran. Titik A pada Gambar 4.2., terletak pada lingkaran, sedangakan titik B tidak terletak pada lingkaran tapi pada daerah dalam.

Dalam bidang kartesius, tiap titik dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut (x,y), sehingga himpunan titik-titik yang terletak pada lingkaran tertentu memenuhi persamaan tertentu yang disebut persamaan lingkaran.

1. Persamaan Lingkaran yang Pusatnya (0,0) dan Jari-jari r

Misalkan A(x,y) terletak pada lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r seperti terlihat pada Gambar 3., maka OA =

= r

= r²

Gambar 4.3

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan jari-jari r memiliki persamaan

x² + y² = r².

Contoh 4.1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan melalui titik A(-3,4)

Jawab:

Persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dan jari-jari r adalah x² + y²= r².

r = OA =

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan melalui titik A(-3,4) adalah

x² + y² = 5² x²+ y² = 25.

Contoh 4.2

Diketahui titik A(0,1) dan B(0,9). Tentutkan persamaan tempat kedudukan P(x,y) sehingga PB = 3PA.

Jawab:

PB = 3PA

x² + (y-9)² = 9(x² +(y-1)²)

x² + y² -18x + 81 = 9(x² +y²-2y + 1)

x² + y²-18y + 81 = 9(x² +y²-2y + 1)

x² + y² -18y + 81 = 9x² + 9y² -18y + 9

-8x² - 8y²= -72

x² + y² = 9

6. titik tengah

BAB II

Sistem Bilangan Real

1. Garis lurus

Gradien suatu garis lurus adalah : Perbandingan antara komponen y (ordinat) dan komponen x (absis) antara dua titik pada garis itu. Gradien suatu garis biasanya dinotasikan dengan huruf kecil m. Perhatikan gambar di bawah

komponen y dari garis AB = y₂ - y₁ ; komponen x dari garis AB = x₂ - x_1,maka :

Catatan : gradien sebuah garis sering disebut kecondongan sebuah garis atau koefisien arah sebuah garis.

Garis l condong ke kanan , maka m_l bernilai positif

b. Gradien bernilai negatif

Garis k condong ke kiri , maka m_k bernilai negatif

Gradien dari sebuah persamaan garis

Jika sebuah garis mempunyai persamaan ax + by = c, maka gradien persamaan garis itu ialah :

c. Gradien garis melalui pangkal koordinat

Garis l melalui pangkal koordinat (0,0) maka

d. Gradien dua garis yang sejajar

Dua garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama, garis l dan garis k sejajar, maka m_l = m_k

e. Gradien dua garis yang saling tegak lurus

Dua garis yang saling tegak lurus perkalian gradiennya adalah -1.Garis l dan garis k saling tegak lurus, maka m_l x m_k = -1.

2. Bentuk kemiringan

Kemiringan ( slope) dari fungsi linier dengan satu variable bebas X adalah sama dengan perubahan dalam pariabel terikat ( dependert ) dibagi dengan perubahan dalam fariabel bebas.dan biasanya di lambangkan dengan huruf m.jadi ,

Kemiringan = m = atau

3. Garis lurus dan tegak lurus

4. Kesimetrisan grafik

5. Persamaan kuadrat

Bentuk Umum

ax² + bx + c = 0

Rumus Dasar

x_{1 +}x_{2 = -}

x_{1 -}x_2
=

x_{1 -}x_{2 =}

Rumus penjabaran

x₁²₊x₂² = ( x_{1 +}x₂)²-2x₁x₂

x₁³₊x₂³ = ( x_{1 +}x₂)³-3x₁x₂( x_{1 +}x₂)

x₁²_-x₂² = ( x_{1 +}x₂) ( x_{1 -}x₂)²

( x_{1 -}x₂)² =

BAB III

Matrik relasi dan fungsi

1. Difinisi matrik

Reserved: Matriks adalah sekelompok bilangan yang disusun menurut baris dan kolom dalam tanda kurung dan berbentuk seperti sebuah persegipanjang.

2. Bentuk umum matrik

Bentuk umum matriks :

Matriks A berukuran (berordo) i x j yang mempunyai arti bahwa matriks A memiliki i baris dan j kolom.
Beberapa contoh elemen (unsur) matriks A adalah :
a _{1 . 2}= adalah elemen matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-2
a _{3 . 3}= adalah elemen matriks A pada baris ke-3 dan kolom ke-3
a _{i . j}= adalah elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j

Syarat Penjumlahan

Dua buah matriks dapat dijumlahkan apabila ukuran (ordo) kedua matriks tersebut sama.
Penjumlahan dua matriks dilakukan dengan menjumlahkan setiap elemen seletak pada kedua matriks tersebut.
Matriks hasil penjumlahan akan sama dengan matriks yang dijumlahkan.

Contoh
Diketahui matriks-matriks :

3. Jenis-jenis maatrik

Bujur sangkar

Matriks Bujursangkar adalah matriks yang memiliki ordo n x n atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom yang terdapat dalam mtriks tersebut. Matriks ini disebut juga dengan matriks persegi berordo n.

Contoh :

Diagonal

Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

Contah :

Nol

Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo m x n, ditulis dengan huruf O.

contoh :

Segitiga

Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .

Contoh :

Identitas

Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.

Contoh :

4 Operasi matrik

PENJUMLAHAN MATRIKS

Jumlali dua matriks A dan B (ditulis A + B) adalah matriks yang didapat dengan menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen B yang bersesuaian (A dan B harus berordo sama).

A + B

é a b ù ë c d û
é a + p b + q ù ë c + r d + s û

é p q ù
ë r s û

PENGURANGAN MATRIKS
Pengurangan matriks A dan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatip B.

A - B = A + (-B)

A - B

é a b ù ë c d û
é a - p b - q ù ë c - r d - s û

é p q ù
ë r s û

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
Jika k suatu skalar dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.

A =

é a b ù
ë c d û

® k A =

é ka kb ù
ë kc kd û

BAB III

Maatrik relasi dan fungsi

1. Definisi relasi

2. Presentasi relasi

3. Mengkombinasikan relasi

4. Komposisi relasi

5. Sifat-sifat relasi

Beberapa Sifat Relasi

Relasi yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat. Sifat-sifat tersebut antara lain :

1. Refleksif (reflexive)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A. Dengan kata lain, suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a) ∉ R.

Contoh :

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R adalah relasi ‘≤’ yang didefinisikan pada himpunan A, maka

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

Terlihat bahwa (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) merupakan unsur dari R. Dengan demikian R dinamakan bersifat refleksif.

Contoh :

Misalkan A = {2, 3, 4, 8, 9, 15}.

Jika kita definisikan relasi R pada himpunan A dengan aturan :

(a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b

Perhatikan bahwa (4, 4) ∉ R .

Jadi, jelas bahwa R tidak bersifat refleksif.

Sifat refleksif memberi beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu :

• Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang unsur diagonal utamanya semua bernilai 1, atau m_ii= 1, untuk i = 1, 2, …, n,

• Relasi yang bersifat refleksif jika disajikan dalam bentuk graf berarah maka pada graf tersebut senantiasa ditemukan loop setiap simpulnya.

2. Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat simetri jika (a, b) ∈ R, untuk setiap a, b ∈ A, maka (b, a) ∈ R. Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a, b) ∈ R sementara itu (b, a) ∉ R.

Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan anti simetri jika untuk setiap a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R berlaku hanya jika a = b. Perhatikanlah bahwa istilah simetri dan anti simetri tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a ≠ b.

Contoh :

Misalkan R merupakan relasi pada sebuah himpunan Riil, yang dinyatakan oleh :

a R b jika dan hanya jika a – b ∈ Z.

Periksa apakah relasi R bersifat simetri !

Misalkan a R b maka (a – b) ∈ Z, Sementara itu jelas bahwa (b – a) ∈ Z.

Dengan demikian R bersifat simetri.

Contoh :

Tunjukan bahwa relasi ‘≤’ merupakan pada himpunan Z. bersifat anti simetri

Jelas bahwa jika a ≤ b dan b ≤ a berarti a = b.

Jadi relasi ‘≤’ bersifat anti simetri.

Contoh :

Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat asli N merupakan contoh relasi yang tidak simetri karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sementara itu, relasi “habis membagi” merupakan relasi yang anti simetri karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.

Contoh :

Misalkan relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } maka relasi R merupakan relasi yang simetri sekaligus relasi yang anti simetri.

Sifat simetri dan anti simetri memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian berbentuk matriks maupun graf, yaitu :

• Relasi yang bersifat simetri mempunyai matriks yang unsur-unsur di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-unsurdi atas diagonal utama, atau m_ij= m_ji= 1, untuk i = 1, 2, …, n dan j = 1, 2, …, n adalah :

Relasi yang bersifat simetri, jika disajikan dalam bentuk graf berarah mempunyai ciri bahwa jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

• Relasi yang bersifat anti simetri mempunyai matriks yang unsur mempunyai sifat yaitu jika m_ij= 1 dengan i ≠ j, maka m_ji= 0. Dengan kata lain, matriks dari relasi anti simetri adalah jika salah satu dari m_ij= 0 atau m_ji= 0 bila i ≠ j :

Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat anti simetri mempunyai ciri bahwa tidak akan pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda.

Misalkan, R merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R^–1, adalah relasi dari himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan oleh :

R^–1= {(b, a) | (a, b) ∈ R }

Contoh :

Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}.

Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q yaitu :

(p, q) ∈ R jika dan hanya jika p habis membagi q

maka kita peroleh :

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)

R^–1merupakan invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P yang berbentuk :

(q, p) ∈ R^–1jika q adalah kelipatan dari p

sehingga diperoleh :

R^–1= {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }

Jika M adalah matriks yang menyajikan suatu relasi R,

maka matriks yang merepresentasikan relasi R^–1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,

3. Transitif (transitive)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat transitif jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

Contoh :

Misalkan A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, dan relasi R didefinisikan oleh :

a R b jika dan hanya jikan a membagi b, dimana a, b ∈ A,

Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka :

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}

Ketika (2, 4) ∈ R dan (4, 8 ) ∈ R terlihat bahwa (2, 8 ) ∈ R.

Dengan demikian R bersifat transitif.

Contoh :

R merupakan relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan oleh :

R : a + b = 5, a, b ∈ A,

Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka :

R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }

Perhatika bawa (1, 4) ∈ R dan (4, 1) ∈ R , tetapi (1, 1) ∉ R.

Dengan demikian R tidak bersifat transitif.

Sifat transitif memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu : sifat transitif pada graf berarah ditunjukkan oleh :

Jika ada busur dari a ke b dan busur dari b ke c, maka juga terdapat busur

berarah dari a ke c.

Pada saat menyajikan suatu relasi transitif dalam bentuk matriks, relasi transitif tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya.

BAB III

Maatrik relasi dan fungsi

1. Pungsi determinan

1. Fungsi determinan

Sebelum memepelajari fungsi determinan, harus kenal terlebih dahulu tentang permutasi.

Perhatikan definisi dibawah ini

DEFINISI 2.1.1 Permutasi suatu himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, …., n} adalah suatu

susunan bilangan-bilangan bulat dalam suatu urutan tanpa pengulangan

Akan lebih jelas, perhatikan contoh dibawah ini

CONTOH 2.1.1 Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3}

permutasi tersebut adalah

(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)

CONTOH 2.1.2 Ada 24 permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, 4},

permutasi tersebut adalah

(1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2)

(2, 1, 3, 4), (2, 1, 4, 3), (2, 3, 1, 4), (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (2, 4, 3, 1)

(3, 1, 2, 4), (3, 1, 4, 2), (3, 2, 1, 4), (3, 2, 4, 1), (3, 4, 2, 1), (3, 4, 1, 2)

(4, 1, 2, 3), (4, 1, 3, 2), (4, 2, 3, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 3, 2, 1), (4, 3, 1, 2)

2. Definisi permutasi

3. Definisi determinan

4. Menghitung determinan dengan reduksi baris

Metode ini digunakan untuk menghindari perhitungan yang panjang dalam penerapan

definisi determinan secara langsung. Determinan suatu matriks dapat dihitung dengan

mereduksi matriks tersebut dalam bentuk eselon baris.

Sifat – sifat matriks eselon baris tereduksi (reduced row-echelon form)

1. Jika baris terdiri tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama dalam

baris tersebut adalah 1. ( kita namakan 1 utama)

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya nol, maka semua baris seperti ini dikelompokan

bersama – sama dibawah matriks.

3. Dalam sembarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol,

maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1

utama dalam baris yang lebih tinggi.

4. Masing – masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol ditempat lain.

Sebuah matriks yang mempunyai sifat 1,2,3 dikatakan berada dalam bentuk eselon

baris ( row-echelon form)

5. Sifat-sifat fungsi determanan

Sifat – sifat fungsi determinan

a. Jika sebarang matriks kuadrat A mengandung satu baris/kolom yang semua

elemennya nol, maka det(A) = 0.

b. Jika terdapat elemen- elemen 2 baris / kolom dari matriks kuadrat A yang sebanding

identik, maka det(A) = 0.

c. Jika matriks B didapat dari matriks A dengan jalan menukar letak sembarang

baris/kolom dari matriks A, maka det (B) = -det(A).

d. Jika Matriks B didapat dari matriks A dengan jalan menambah unsur – unsur pada

baris / kolom ke-p dengan k kali unsur-unsur baris/kolom ke-q, maka det (B) =

det (A)

Tugas Mandiri

Halaman

matematika

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Total Tayangan Halaman